Номер 414 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 414.
Известно одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными 3х – 2у = 1. Подберите второе уравнение так, чтобы система:
а) имела единственное решение;
б) не имела решений;
в) имела бессчисленное множество решений.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни три условия для систем линейных уравнений: 1) если коэффициенты не пропорциональны — единственное решение; 2) если коэффициенты пропорциональны, но свободные члены нет — нет решений; 3) если всё пропорционально одинаково — бесчисленное множество решений.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Вспомним, когда система двух линейных уравнений имеет разные решения.
Дано первое уравнение: 3х – 2у = 1
Запишем его в виде: a₁х + b₁у = c₁, где a₁ = 3, b₁ = –2, c₁ = 1
Второе уравнение будет: a₂х + b₂у = c₂
а) Система имеет единственное решение
Это происходит, когда коэффициенты при переменных не пропорциональны: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
Пример: возьмём 2х + у = 5
Проверка: 3/2 ≠ –2/1, то есть 1,5 ≠ –2 ✓
Ответ: 2х + у = 5 (или любое другое уравнение, где это условие выполнено)
б) Система не имеет решений
Это происходит, когда коэффициенты пропорциональны, но свободные члены нет: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
Пример: возьмём 6х – 4у = 3
Проверка:
- 3/6 = –2/(–4) = 1/2 (коэффициенты пропорциональны) ✓
- 1/3 ≠ 1/2 (свободные члены не в той же пропорции) ✓
Ответ: 6х – 4у = 3 (или любое уравнение вида 6х – 4у = d, где d ≠ 2)
в) Система имеет бесчисленное множество решений
Это происходит, когда все коэффициенты пропорциональны: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
Пример: возьмём 6х – 4у = 2
Проверка:
- 3/6 = 1/2
- –2/(–4) = 1/2
- 1/2 = 1/2
Все пропорции равны 1/2 ✓
Ответ: 6х – 4у = 2 (или любое уравнение, получаемое умножением исходного на число)