Номер 410 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 410.
Докажите, что при а > –1 выражение (а + 1/а – 1 – а – 1/а + 1) : 4а/5а – 5 принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.
💡 Подсказка (без ответа)
Упростите дробь в скобках, приведя к общему знаменателю. Затем используйте формулу разности квадратов (а + 1)² – (а – 1)² = 4а. После деления на вторую дробь сократите и разложите числитель и знаменатель на множители.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Упростим выражение пошагово.
Шаг 1. Упростим выражение в скобках
Нужно найти: (а + 1)/(а – 1) – (а – 1)/(а + 1)
Приведём к общему знаменателю (а – 1)(а + 1):
= [(а + 1)² – (а – 1)²] / [(а – 1)(а + 1)]
Шаг 2. Раскроем скобки в числителе
(а + 1)² = а² + 2а + 1 (а – 1)² = а² – 2а + 1
(а + 1)² – (а – 1)² = (а² + 2а + 1) – (а² – 2а + 1) = 4а
Шаг 3. Получим результат в скобках
= 4а / [(а – 1)(а + 1)] = 4а / (а² – 1)
Шаг 4. Выполним деление
[4а / (а² – 1)] : [4а / (5а – 5)]
При делении дроби умножаем на обратную:
= [4а / (а² – 1)] · [(5а – 5) / 4а]
Шаг 5. Упростим
= [4а · (5а – 5)] / [(а² – 1) · 4а]
Сократим на 4а (допустимо при а ≠ 0):
= (5а – 5) / (а² – 1)
Шаг 6. Разложим на множители
Числитель: 5а – 5 = 5(а – 1) Знаменатель: а² – 1 = (а – 1)(а + 1)
= 5(а – 1) / [(а – 1)(а + 1)]
Сократим на (а – 1) при а ≠ 1:
= 5 / (а + 1)
Шаг 7. Анализ знака
Получили: 5 / (а + 1)
По условию: а > –1
Это означает: а + 1 > 0
Поэтому: 5 / (а + 1) > 0 (положительное число делим на положительное число)
Вывод: Выражение при а > –1 и допустимых значениях а принимает только положительные значения. Что и требовалось доказать.