Для способа сложения нужно избавиться от одной переменной. Сложи или вычти уравнения так, чтобы одна из переменных исчезла. В пункте в) вычти второе уравнение из первого — останется только x и y без произведения xy.

Решение систем уравнений способом сложения

а) Система: x² - 2y² = 14; x² + 2y² = 18

Шаг 1. Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной y²:

(x² - 2y²) + (x² + 2y²) = 14 + 18

Шаг 2. Приводим подобные:

2x² = 32

x² = 16

x = 4 или x = -4

Шаг 3. Найдём y². Подставим x² = 16 в первое уравнение:

16 - 2y² = 14

-2y² = -2

y² = 1

y = 1 или y = -1

Ответ для а): (4; 1), (4; -1), (-4; 1), (-4; -1)

б) Система: x² + y² = 61; x² - y² = 11

Шаг 1. Сложим оба уравнения:

(x² + y²) + (x² - y²) = 61 + 11

Шаг 2. Упрощаем:

2x² = 72

x² = 36

x = 6 или x = -6

Шаг 3. Найдём y². Подставим x² = 36 во второе уравнение:

36 - y² = 11

y² = 25

y = 5 или y = -5

Ответ для б): (6; 5), (6; -5), (-6; 5), (-6; -5)

в) Система: xy + x = 56; xy + y = 54

Шаг 1. Вычтем из первого уравнения второе:

(xy + x) - (xy + y) = 56 - 54

Шаг 2. Упрощаем:

x - y = 2

x = y + 2

Шаг 3. Подставим x = y + 2 во второе уравнение:

(y + 2)·y + y = 54

y² + 2y + y = 54

y² + 3y = 54

y² + 3y - 54 = 0

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = 9 + 4·54 = 9 + 216 = 225 = 15²

y = (-3 + 15)/2 = 6 или y = (-3 - 15)/2 = -9

Шаг 5. Находим x:

Если y = 6, то x = 6 + 2 = 8

Если y = -9, то x = -9 + 2 = -7

Проверка: 8·6 + 8 = 48 + 8 = 56 ✓; 8·6 + 6 = 48 + 6 = 54 ✓

Ответ для в): (8; 6), (-7; -9)