Номер 325 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 325.
Является ли число:
а) $$\sqrt{3 + \sqrt{5}}$$ корнем биквадратного уравнения х4 – 6х2 + 3 = 0;
б) $$\sqrt{5 – \sqrt{2}}$$ корнем биквадратного уравнения х4 – 10х2 + 23 = 0?
💡 Подсказка (без ответа)
Возведи выражение под корнем в квадрат, чтобы найти х². Затем найди х⁴ = (х²)². После этого подставь оба значения в уравнение и проверь, равен ли результат нулю.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Проверяем, является ли √(3 + √5) корнем уравнения х⁴ – 6х² + 3 = 0
Шаг 1: Обозначим х = √(3 + √5) и найдём х².
х² = 3 + √5
Шаг 2: Теперь найдём х⁴ (возведём х² в квадрат).
х⁴ = (х²)² = (3 + √5)² = 9 + 6√5 + 5 = 14 + 6√5
Шаг 3: Подставим х² и х⁴ в уравнение х⁴ – 6х² + 3 = 0.
(14 + 6√5) – 6(3 + √5) + 3 = 14 + 6√5 – 18 – 6√5 + 3 = 14 – 18 + 3 + 6√5 – 6√5 = –1 + 0 = –1
Шаг 4: Результат равен –1, а не 0.
Ответ: нет, не является корнем.
б) Проверяем, является ли √(5 – √2) корнем уравнения х⁴ – 10х² + 23 = 0
Шаг 1: Обозначим х = √(5 – √2) и найдём х².
х² = 5 – √2
Шаг 2: Найдём х⁴ (возведём х² в квадрат).
х⁴ = (х²)² = (5 – √2)² = 25 – 10√2 + 2 = 27 – 10√2
Шаг 3: Подставим х² и х⁴ в уравнение х⁴ – 10х² + 23 = 0.
(27 – 10√2) – 10(5 – √2) + 23 = 27 – 10√2 – 50 + 10√2 + 23 = 27 – 50 + 23 – 10√2 + 10√2 = 0
Шаг 4: Результат равен 0!
Ответ: да, является корнем.