Номер 267 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев

а) Приравняй трёхчлен к нулю, найди корни через дискриминант, раздели числовую прямую на промежутки и определи знак на каждом промежутке (помни про коэффициент при х²). б) Найди дискриминант уравнения -х² - 1/3·х - 1/36 = 0. Если он равен нулю, то трёхчлен можно записать как полный квадрат с минусом впереди.

а) Найти, при каких х трёхчлен 2х² + 5х + 3 принимает положительные значения

Шаг 1: Найдём корни уравнения 2х² + 5х + 3 = 0 Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac = 5² - 4·2·3 = 25 - 24 = 1

Шаг 2: Вычислим корни х₁ = (-5 + 1)/(2·2) = -4/4 = -1 х₂ = (-5 - 1)/(2·2) = -6/4 = -1,5

Шаг 3: Разложим на множители 2х² + 5х + 3 = 2(х + 1)(х + 1,5)

Шаг 4: Определим знак Поскольку коэффициент при х² положительный (2 > 0), парабола ветвями вверх. Трёхчлен положителен вне корней.

Ответ: х < -1,5 или х > -1

б) Найти, при каких х трёхчлен -х² - 1/3·х - 1/36 принимает отрицательные значения

Шаг 1: Найдём корни уравнения -х² - 1/3·х - 1/36 = 0 Умножим на -1: х² + 1/3·х + 1/36 = 0

Шаг 2: Вычислим дискриминант D = (1/3)² - 4·1·1/36 = 1/9 - 4/36 = 1/9 - 1/9 = 0

Шаг 3: Так как D = 0, уравнение имеет один корень х = -1/3 / (2·1) = -1/6

Шаг 4: Разложим на множители х² + 1/3·х + 1/36 = (х + 1/6)²

Шаг 5: Исходный трёхчлен -х² - 1/3·х - 1/36 = -(х + 1/6)²

Шаг 6: Определим знак Выражение -(х + 1/6)² всегда ≤ 0 (так как квадрат неотрицателен, а перед ним минус). Оно равно нулю только при х = -1/6. Оно отрицательно при всех других значениях х.

Ответ: х ≠ -1/6 или х ∈ (-∞; -1/6) ∪ (-1/6; +∞)