Номер 174 — ГДЗ алгебра 9 класс Макарычев
№ 174.
Докажите, что графику функции у = 2х + 5/х – 3 принадлежит лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината – натуральные числа. Найдите координаты этих точек.
💡 Подсказка (без ответа)
Преобразуй дробь, выделив целую часть. Тогда y = 2 + 11/(x - 3). Для натурального y нужно, чтобы (x - 3) был делителем 11. Найди все делители числа 11 и проверь каждый случай.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно найти точки, где и x, и y — натуральные числа.
Дано: y = (2x + 5)/(x - 3)
Шаг 1: Преобразуем формулу функции, чтобы выделить целую часть. Разделим числитель на знаменатель: 2x + 5 = 2(x - 3) + 6 + 5 = 2(x - 3) + 11
Поэтому: y = [2(x - 3) + 11]/(x - 3) = 2 + 11/(x - 3)
Шаг 2: Для того чтобы y было натуральным числом, нужно:
- y ≥ 1 (натуральное число)
- y целое число
Это возможно, только если 11/(x - 3) — целое число.
Шаг 3: Найдём все делители числа 11. 11 — простое число, его делители: 1, 11, -1, -11
Шаг 4: Рассмотрим все случаи. x - 3 = 1 → x = 4, y = 2 + 11/1 = 13 ✓ (оба натуральные) x - 3 = 11 → x = 14, y = 2 + 11/11 = 3 ✓ (оба натуральные) x - 3 = -1 → x = 2, y = 2 + 11/(-1) = -9 (y не натуральное) x - 3 = -11 → x = -8, y = 2 + 11/(-11) = 1 (x не натуральное)
Шаг 5: Проверка. Точка (4; 13): y = (2·4 + 5)/(4 - 3) = 13/1 = 13 ✓ Точка (14; 3): y = (2·14 + 5)/(14 - 3) = 33/11 = 3 ✓
Вывод: только две точки принадлежат графику, где обе координаты натуральные числа.