Номер 938 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 938.
Докажите. что:
1) $$\sqrt{27}$$ + $$\sqrt{65}$$ > 13; 3) $$\sqrt{65}$$ – $$\sqrt{35}$$ > 2;
2) $$\sqrt{14}$$ + $$\sqrt{15}$$ < 8; 4) $$\sqrt{99}$$ – $$\sqrt{82}$$ < 1.
💡 Подсказка (без ответа)
Возведите обе части неравенства в квадрат (они положительны). Затем упростите, избавляясь от корней и сводя задачу к сравнению чисел без корней. Помните: (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a – b)² = a² – 2ab + b²
Решение по шагам
Доказываем неравенства с корнями, используя возведение в квадрат. Помните: если обе части положительны, то можно возвести в квадрат, и неравенство сохранится.
1) √27 + √65 > 13
Возведём обе части в квадрат.
Левая часть: (√27 + √65)² = 27 + 2√(27·65) + 65 = 92 + 2√1755
Правая часть: 13² = 169
Нужно доказать: 92 + 2√1755 > 169
Упрощаем: 2√1755 > 77
√1755 > 38,5
Возведём в квадрат: 1755 > 1482,25
Это верно! ✓
2) √14 + √15 < 8
Возведём обе части в квадрат.
Левая часть: (√14 + √15)² = 14 + 2√(14·15) + 15 = 29 + 2√210
Правая часть: 8² = 64
Нужно доказать: 29 + 2√210 < 64
Упрощаем: 2√210 < 35
√210 < 17,5
Возведём в квадрат: 210 < 306,25
Это верно! ✓
3) √65 – √35 > 2
Возведём обе части в квадрат.
Левая часть: (√65 – √35)² = 65 – 2√(65·35) + 35 = 100 – 2√2275
Правая часть: 2² = 4
Нужно доказать: 100 – 2√2275 > 4
Упрощаем: 96 > 2√2275
48 > √2275
Возведём в квадрат: 2304 > 2275
Это верно! ✓
4) √99 – √82 < 1
Возведём обе части в квадрат.
Левая часть: (√99 – √82)² = 99 – 2√(99·82) + 82 = 181 – 2√8118
Правая часть: 1² = 1
Нужно доказать: 181 – 2√8118 < 1
Упрощаем: 180 < 2√8118
90 < √8118
Возведём в квадрат: 8100 < 8118
Это верно! ✓