Номер 811 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 811.
Рассматриваются все прямоугольнии, длины сторон которых – натуральные числа. каких прямоугольников больше: с периметром 1000 или с периметром 1002?
💡 Подсказка (без ответа)
Запиши формулу периметра: 2a + 2b = P. Найди, чему равна сумма a + b для каждого периметра. Затем подумай, сколько пар натуральных чисел дают одинаковую сумму.
Решение по шагам
Обозначим длины сторон прямоугольника как a и b, где a и b — натуральные числа.
Для прямоугольника с периметром P имеем: 2a + 2b = P, откуда a + b = P/2.
Для периметра 1000:
a + b = 500
Так как a и b — натуральные числа и a ≤ b (без ограничения общности), то:
- a может принимать значения: 1, 2, 3, ..., 249
- Когда a = 1, то b = 499
- Когда a = 249, то b = 251
- Когда a = 250, то b = 250 (квадрат)
Количество прямоугольников = 250 (потому что a принимает значения от 1 до 250).
Для периметра 1002:
a + b = 501
Так как a и b — натуральные числа и a ≤ b, то:
- a может принимать значения: 1, 2, 3, ..., 250
- Когда a = 1, то b = 500
- Когда a = 250, то b = 251
- Когда a = 251, то b = 250 (это то же самое, что a = 250, b = 251)
Количество прямоугольников = 250 (потому что a принимает значения от 1 до 250).
Вывод:
Объяснение: в обоих случаях сумма сторон равна целому числу (500 и 501 соответственно), и количество пар натуральных чисел (a, b) с a + b = n равно ⌊n/2⌋. Для n = 500 получаем 500/2 = 250, для n = 501 получаем ⌊501/2⌋ = 250.
Прямоугольников поровну — по 250 в каждом случае.