Номер 733 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 733.
При каком значении b имеет единственный корень уравнение:
1) bx² + x + b = 0; 2) (b + 3)x² + (b + 1)x – 2 = 0?
💡 Подсказка (без ответа)
Уравнение имеет единственный корень, если это либо линейное уравнение (старший коэффициент = 0), либо квадратное уравнение с дискриминантом D = 0. Разберите оба случая отдельно для каждого пункта.
Решение по шагам
1) bx² + x + b = 0
Это уравнение имеет единственный корень в двух случаях:
Случай 1: Уравнение является линейным (коэффициент при x² равен нулю) Если b = 0, то получаем: 0·x² + x + 0 = 0, то есть x = 0 Это линейное уравнение с одним корнем.
Случай 2: Уравнение квадратное, но дискриминант равен нулю Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 дискриминант D = b² – 4ac В нашем случае: a = b, коэффициент при x равен 1, свободный член = b D = 1² – 4·b·b = 1 – 4b²
Для единственного корня: D = 0 1 – 4b² = 0 4b² = 1 b² = 1/4 b = 1/2 или b = –1/2
Ответ для пункта 1: b = 0 или b = 1/2, или b = –1/2
2) (b + 3)x² + (b + 1)x – 2 = 0
Случай 1: Уравнение является линейным Если b + 3 = 0, то b = –3 Получаем: 0·x² + (–3 + 1)x – 2 = 0 –2x – 2 = 0 x = –1 Один корень!
Случай 2: Уравнение квадратное, дискриминант равен нулю Для квадратного уравнения (b + 3)x² + (b + 1)x – 2 = 0: a = b + 3, коэффициент при x равен b + 1, c = –2 D = (b + 1)² – 4(b + 3)(–2) D = (b + 1)² + 8(b + 3) D = b² + 2b + 1 + 8b + 24 D = b² + 10b + 25
Для единственного корня: D = 0 b² + 10b + 25 = 0 (b + 5)² = 0 b = –5
Ответ для пункта 2: b = –3 или b = –5