Номер 590 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 590.
Упростите выражение:
1) $$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} – \sqrt{n}}$$ : ($$\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}}$$ + $$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m} – \sqrt{n}}$$); 2) ($$\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1}$$ – $$\frac{4\sqrt{x}}{x – 1}$$) · $$\frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} – 1}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
В первом примере сначала упростите выражение в скобке, приведя дроби к общему знаменателю. Затем выполните деление, умножив на перевёрнутую дробь. Во втором примере используйте формулу разности квадратов для знаменателя x – 1 = (√x – 1)(√x + 1) и приведите первую скобку к общему знаменателю.
Решение по шагам
- Упростим выражение: √m/(√m – √n) : (√m + √n)/√n + √n/(√m – √n)
Сначала упростим вторую скобку: (√m + √n)/√n + √n/(√m – √n)
Приведём к общему знаменателю √n(√m – √n): = [(√m + √n)(√m – √n) + √n · √n] / [√n(√m – √n)] = [m – n + n] / [√n(√m – √n)] = m / [√n(√m – √n)]
Теперь делим: √m/(√m – √n) : m/[√n(√m – √n)] = √m/(√m – √n) · √n(√m – √n)/m = √m · √n(√m – √n) / [(√m – √n) · m] = √m · √n / m = √(mn) / m
- Упростим: (√x + 1)/(√x – 1) – 4√x/(x – 1) · (x + √x)/(√x – 1)
Заметим, что x – 1 = (√x – 1)(√x + 1)
Упростим первую часть в скобке: (√x + 1)/(√x – 1) – 4√x/[(√x – 1)(√x + 1)]
Приведём к общему знаменателю (√x – 1)(√x + 1): = [(√x + 1)² – 4√x] / [(√x – 1)(√x + 1)] = [x + 2√x + 1 – 4√x] / [(√x – 1)(√x + 1)] = [x – 2√x + 1] / [(√x – 1)(√x + 1)] = (√x – 1)² / [(√x – 1)(√x + 1)] = (√x – 1) / (√x + 1)
Теперь умножим на третью скобку: [(√x – 1)/(√x + 1)] · [(x + √x)/(√x – 1)] = [(√x – 1) · √x(√x + 1)] / [(√x + 1)(√x – 1)] = √x(√x + 1) / (√x + 1) = √x