Номер 586 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 586.
Докажите, что значением выражения является рациональное число:
1) $$\frac{6}{3 + 2\sqrt{3}}$$ + $$\frac{6}{3 – 2\sqrt{3}}$$; 2) $$\frac{\sqrt{11} + \sqrt{6}}{\sqrt{11}– \sqrt{6}}$$ + $$\frac{\sqrt{11} – \sqrt{6}}{\sqrt{11} + \sqrt{6}}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи каждое выражение к общему знаменателю. В числителе обычно взаимно уничтожаются иррациональные части. В знаменателе используй формулу разности квадратов (a + b)(a - b) = a² - b²
Решение по шагам
1) Доказательство для первого выражения
Нужно найти сумму: 6/(3 + 2√3) + 6/(3 - 2√3)
Приведём к общему знаменателю: = 6(3 - 2√3) + 6(3 + 2√3) / [(3 + 2√3)(3 - 2√3)]
Вычислим числитель: 6(3 - 2√3) + 6(3 + 2√3) = 18 - 12√3 + 18 + 12√3 = 36
Вычислим знаменатель (разность квадратов): (3 + 2√3)(3 - 2√3) = 3² - (2√3)² = 9 - 4·3 = 9 - 12 = -3
Получаем: 36 / (-3) = -12
-12 — это рациональное число.
2) Доказательство для второго выражения
Нужно найти сумму: (√11 + √6)/(√11 - √6) + (√11 - √6)/(√11 + √6)
Приведём к общему знаменателю: = [(√11 + √6)² + (√11 - √6)²] / [(√11 - √6)(√11 + √6)]
Вычислим знаменатель (разность квадратов): (√11 - √6)(√11 + √6) = (√11)² - (√6)² = 11 - 6 = 5
Вычислим числитель: (√11 + √6)² = 11 + 2√11·√6 + 6 = 17 + 2√66 (√11 - √6)² = 11 - 2√11·√6 + 6 = 17 - 2√66
Сумма: 17 + 2√66 + 17 - 2√66 = 34
Получаем: 34 / 5 = 6,8
6,8 — это рациональное число.