Номер 498 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 498.
Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие – иррациональных:
1) 0,(3);
2) 0,4(32);
3) 0,20200200020... (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)?
💡 Подсказка (без ответа)
Помни: периодическая бесконечная дробь (когда цифры или группа цифр повторяются) — это всегда рациональное число. Если дробь не периодическая (нет повторяющегося периода), то это иррациональное число. Проверь, есть ли в каждой дроби повторяющаяся часть.
Решение по шагам
Чтобы определить, какие дроби рациональные, а какие иррациональные, нужно вспомнить:
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0.
Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n.
Важный факт: бесконечная десятичная дробь рациональна тогда и только тогда, когда она периодическая (есть повторяющийся период).
1) 0,(3)
Это периодическая дробь: 0,333333..., период — цифра 3.
Переведём в обыкновенную дробь: Пусть x = 0,(3), тогда 10x = 3,(3) 10x - x = 3,(3) - 0,(3) 9x = 3 x = 3/9 = 1/3
Это РАЦИОНАЛЬНОЕ число.
2) 0,4(32)
Это периодическая дробь: 0,4323232..., период — 32, начало непериодическое — 4.
Переведём в обыкновенную дробь: Пусть x = 0,4(32), тогда 10x = 4,(32), а 1000x = 432,(32) 1000x - 10x = 432,(32) - 4,(32) 990x = 428 x = 428/990 = 214/495
Это РАЦИОНАЛЬНОЕ число.
3) 0,20200200020...
В этой дроби: 0,2 0 2 00 2 000 2 0000... Количество нулей между двойками: 1, затем 2, затем 3, затем 4 и так далее.
Это непериодическая бесконечная дробь. Период не повторяется, последовательность нулей постоянно увеличивается, поэтому мы не можем найти одинаковый повторяющийся блок.
Это ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число.