Номер 289 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 289.
Докажите тождество:
a⁻ ⁸ – b⁻ ⁸ = (a⁻ ¹ – b⁻ ¹)(a⁻ ¹ + b⁻ ¹)(a⁻ ² + b⁻ ²)(a⁻ ⁴ + b⁻ ⁴).
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни формулу разности квадратов: x² – y² = (x – y)(x + y). Заметь, что a⁻⁸ – b⁻⁸ можно представить как (a⁻¹)⁸ – (b⁻¹)⁸, и применяй формулу несколько раз подряд, понижая степени.
Решение по шагам
Нужно доказать, что левая часть равна правой. Воспользуемся формулой разности квадратов: x² – y² = (x – y)(x + y).
Шаг 1. Обозначим для удобства: x = a⁻¹ и y = b⁻¹.
Тогда левую часть можно записать как: a⁻⁸ – b⁻⁸ = (a⁻¹)⁸ – (b⁻¹)⁸ = x⁸ – y⁸
Шаг 2. Применим формулу разности квадратов к x⁸ – y⁸ = (x⁴)² – (y⁴)²: (x⁴)² – (y⁴)² = (x⁴ – y⁴)(x⁴ + y⁴)
Шаг 3. К выражению x⁴ – y⁴ применим формулу ещё раз: x⁴ – y⁴ = (x²)² – (y²)² = (x² – y²)(x² + y²)
Шаг 4. К выражению x² – y² применим формулу в третий раз: x² – y² = (x – y)(x + y)
Шаг 5. Собираем всё вместе: x⁸ – y⁸ = (x – y)(x + y)(x² + y²)(x⁴ + y⁴)
Шаг 6. Подставляем обратно x = a⁻¹ и y = b⁻¹: (a⁻¹ – b⁻¹)(a⁻¹ + b⁻¹)(a⁻² + b⁻²)(a⁻⁴ + b⁻⁴)
Это ровно то, что записано в правой части. Тождество доказано!