Номер 124 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 124.
Докажите тождество:
1/(a – b)(a – c) – 1/(a – b)(b – c) + 1/(c – a)(c – b) = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Найди общий знаменатель для всех трёх дробей. Помни, что (c – a) = –(a – c) и (c – b) = –(b – c). Затем приведи дроби к общему знаменателю и упрости числитель.
Решение по шагам
Нужно доказать, что левая часть равна нулю. Приведём все три дроби к общему знаменателю.
Шаг 1: Определим общий знаменатель. Знаменатели: (a – b)(a – c), (a – b)(b – c), (c – a)(c – b) Заметим, что (c – a) = –(a – c) и (c – b) = –(b – c) Поэтому (c – a)(c – b) = (–1)(a – c) · (–1)(b – c) = (a – c)(b – c)
Общий знаменатель: (a – b)(a – c)(b – c)
Шаг 2: Приводим первую дробь. 1/(a – b)(a – c) = (b – c)/[(a – b)(a – c)(b – c)]
Шаг 3: Приводим вторую дробь. –1/(a – b)(b – c) = –(a – c)/[(a – b)(a – c)(b – c)]
Шаг 4: Приводим третью дробь. 1/(c – a)(c – b) = 1/[(a – c)(b – c)] = (a – b)/[(a – b)(a – c)(b – c)]
Шаг 5: Складываем числители. (b – c) – (a – c) + (a – b) = b – c – a + c + a – b = 0
Вывод: Числитель равен 0, знаменатель не равен нулю при a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c. Поэтому вся сумма равна 0.
Тождество доказано. ✓