Номер 1128 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1128.
Упростите выражение:
$$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{5}}$$ + $$\frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{8}}$$ + ... + $$\frac{1}{\sqrt{50} + \sqrt{47}}$$.
💡 Подсказка (без ответа)
В каждой дроби избавьтесь от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение. Заметьте, что числители и знаменатели имеют одинаковую разность — это создаст телескопическую сумму, где большинство членов сократится.
Решение по шагам
Заметим, что в каждой дроби знаменатель содержит сумму корней. Используем метод избавления от иррациональности в знаменателе — умножим каждую дробь на выражение, сопряженное к знаменателю.
Для дроби вида 1/(√a + √b) умножим на (√a - √b)/(√a - √b):
1/(√a + √b) · (√a - √b)/(√a - √b) = (√a - √b)/(a - b)
Применим это к каждому слагаемому:
1/(√5 + √2) = (√5 - √2)/(5 - 2) = (√5 - √2)/3
1/(√8 + √5) = (√8 - √5)/(8 - 5) = (√8 - √5)/3
1/(√11 + √8) = (√11 - √8)/(11 - 8) = (√11 - √8)/3
Видим закономерность: все разности под корнями равны 3.
Общий вид: 1/(√(n+3) + √n) = (√(n+3) - √n)/3
Последний член: 1/(√50 + √47) = (√50 - √47)/(50 - 47) = (√50 - √47)/3
Теперь складываем все дроби:
(√5 - √2)/3 + (√8 - √5)/3 + (√11 - √8)/3 + ... + (√50 - √47)/3
Вынесем общий множитель 1/3:
= (1/3) · (√5 - √2 + √8 - √5 + √11 - √8 + ... + √50 - √47)
В скобках получается телескопическая сумма — большинство слагаемых сокращаются:
= (1/3) · (√50 - √2)
= (1/3) · (5√2 - √2)
= (1/3) · 4√2
= 4√2/3