Номер 1038 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1038.
Решите уравнение:
1) $$\sqrt{x² + 3x – 4}$$ + $$\sqrt{x² + 6x + 8}$$ = 0;
2) x2 – 4x + 4 + |x2 – 3x + 2| = 0;
3) $$\sqrt{25 – x²}$$ + |x2 + 8x – 20| = 0.
💡 Подсказка (без ответа)
Сумма неотрицательных чисел (корней, модулей, квадратов) равна нулю только если каждое слагаемое равно нулю. Составь систему уравнений и найди значения, которые удовлетворяют всем условиям одновременно.
Решение по шагам
Решение задания №1038
1) √(x² + 3x – 4) + √(x² + 6x + 8) = 0
Чтобы сумма двух корней равнялась нулю, оба корня должны быть равны нулю (так как корень — число неотрицательное).
Условие: √(x² + 3x – 4) = 0 И √(x² + 6x + 8) = 0
Из первого уравнения: x² + 3x – 4 = 0 (x + 4)(x – 1) = 0 x = –4 или x = 1
Из второго уравнения: x² + 6x + 8 = 0 (x + 2)(x + 4) = 0 x = –2 или x = –4
Оба уравнения одновременно выполняются только при x = –4.
Проверка: √(16 – 12 – 4) + √(16 – 24 + 8) = √0 + √0 = 0 ✓
Ответ: x = –4
2) x² – 4x + 4 + |x² – 3x + 2| = 0
Заметим, что x² – 4x + 4 = (x – 2)² ≥ 0 — это квадрат. Модуль |x² – 3x + 2| ≥ 0 — это неотрицательное число.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только если оба равны нулю: (x – 2)² = 0 И |x² – 3x + 2| = 0
Из первого условия: x = 2
Проверим для второго условия при x = 2: |4 – 6 + 2| = |0| = 0 ✓
Ответ: x = 2
3) √(25 – x²) + |x² + 8x – 20| = 0
Корень и модуль — оба неотрицательные числа. Их сумма равна нулю только если оба равны нулю: √(25 – x²) = 0 И |x² + 8x – 20| = 0
Из первого условия: 25 – x² = 0 x² = 25 x = 5 или x = –5
Проверим x = 5 во втором условии: |25 + 40 – 20| = |45| = 45 ≠ 0 ✗
Проверим x = –5 во втором условии: |25 – 40 – 20| = |–35| = 35 ≠ 0 ✗
Ни одно значение не удовлетворяет обоим условиям одновременно.
Ответ: решений нет