Номер 1022 — ГДЗ алгебра 8 класс Мерзляк
№ 1022.
Трёхзначное число n таково, что числа n – 6, n – 7 и n – 8 кратны числам 7, 8 и 9 соответственно. Найдите число n.
💡 Подсказка (без ответа)
Переведите каждое условие в вид n ≡ a (mod b). Затем решите систему сравнений, сначала объединив два уравнения, потом подставив результат в третье.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим трёхзначное число как n. По условию задачи:
Условие 1: число (n – 6) кратно 7 Это значит: n – 6 = 7k для некоторого целого k Отсюда: n = 7k + 6
Условие 2: число (n – 7) кратно 8 Это значит: n – 7 = 8m для некоторого целого m Отсюда: n = 8m + 7
Условие 3: число (n – 8) кратно 9 Это значит: n – 8 = 9p для некоторого целого p Отсюда: n = 9p + 8
Из условий 1 и 2: 7k + 6 = 8m + 7 7k = 8m + 1 7k ≡ 1 (mod 8)
Проверим: k = 7 даёт 7·7 = 49 ≡ 1 (mod 8) ✓ Общее решение: k = 7 + 8t, то есть n = 7(7 + 8t) + 6 = 49 + 56t + 6 = 55 + 56t
Подставим в условие 3: 55 + 56t = 9p + 8 47 + 56t = 9p 56t ≡ -47 ≡ -47 + 54 ≡ 7 (mod 9) 56 ≡ 2 (mod 9) 2t ≡ 7 (mod 9)
Проверим: t = 8 даёт 2·8 = 16 ≡ 7 (mod 9) ✓ Общее решение: t = 8 + 9s
Найдём n: n = 55 + 56(8 + 9s) = 55 + 448 + 504s = 503 + 504s
Так как n — трёхзначное число: 100 ≤ 503 + 504s ≤ 999
При s = 0: n = 503 Проверим: 503 – 6 = 497 = 7·71 ✓ 503 – 7 = 496 = 8·62 ✓ 503 – 8 = 495 = 9·55 ✓
При s = -1: n = -1 (не трёхзначное) При s = 1: n = 1007 (четырёхзначное)