Алгебра 8 класс Макарычев, номер 892

Question

Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 верно неравенство:

а) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc
б) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)/16 ≥ abc
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и среднем геометрическим положительных чисел a и b.

Accepted Answer

Ответ: Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим: (a + b)/2 ≥ √(ab) или a + b ≥ 2√(ab)

a) Доказано: (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc — перемножением трёх неравенств a + b ≥ 2√(ab), b + c ≥ 2√(bc), a + c ≥ 2√(ac)

б) Доказано: (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)/16 ≥ abc — перемножением четырёх неравенств a + 1 ≥ 2√a, b + 1 ≥ 2√b, a + c ≥ 2√(ac), b + c ≥ 2√(bc)

Номер 892 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев