Номер 831 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 831.
При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части − другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию рукописи с каждой машины в отдельности?
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь время работы каждой машины отдельно как x и y. Вспомни, что производительность — это часть работы в единицу времени (1/x). Составь два уравнения: первое из условия совместной работы (6 минут), второе из условия последовательной работы (12,5 минут). Подстав одно выражение в другое и реши квадратное уравнение.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим время работы первой машины как x минут, а второй машины как y минут.
Шаг 1. Найдём производительность каждой машины. Производительность первой машины: 1/x (часть работы в минуту) Производительность второй машины: 1/y (часть работы в минуту)
Шаг 2. Составим первое уравнение из условия совместной работы. Когда машины работают вместе 6 минут, они выполняют всю работу: (1/x + 1/y) × 6 = 1
Упростим: 1/x + 1/y = 1/6
Шаг 3. Составим второе уравнение из условия последовательной работы. Первая машина копирует половину рукописи: Время = (1/2) ÷ (1/x) = x/2 минут
Вторая машина копирует вторую половину: Время = (1/2) ÷ (1/y) = y/2 минут
Общее время: x/2 + y/2 = 12,5
Упростим: x + y = 25
Шаг 4. Решаем систему уравнений. Из второго уравнения: y = 25 - x
Подставим в первое уравнение: 1/x + 1/(25 - x) = 1/6
Приведём к общему знаменателю: (25 - x + x)/(x(25 - x)) = 1/6
25/(x(25 - x)) = 1/6
Перемножим крест-накрест: 25 × 6 = x(25 - x) 150 = 25x - x²
x² - 25x + 150 = 0
Шаг 5. Решаем квадратное уравнение. По формуле дискриминанта: D = 625 - 600 = 25
x₁ = (25 + 5)/2 = 15 x₂ = (25 - 5)/2 = 10
Шаг 6. Находим y. Если x = 15, то y = 25 - 15 = 10 Если x = 10, то y = 25 - 10 = 15
Шаг 7. Проверка. Проверим для x = 10 и y = 15: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 ✓ 10/2 + 15/2 = 5 + 7,5 = 12,5 ✓
Ответ: первая машина копирует рукопись за 10 минут, вторая — за 15 минут (или наоборот).