Номер 792 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 792.
Сумма положительных чисел a и b равна 40. При каких значениях a и b их произведение будет наибольшим?
💡 Подсказка (без ответа)
Выразите одну переменную через другую, используя условие a + b = 40. Затем найдите максимум полученной квадратичной функции через координату вершины параболы.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим произведение через P. Нам нужно найти максимум произведения P = a · b при условии, что a + b = 40 и a > 0, b > 0.
Из условия a + b = 40 выразим одну переменную через другую: b = 40 - a.
Подставим в произведение: P = a · (40 - a) = 40a - a².
Раскроем скобки и получим квадратичную функцию: P(a) = -a² + 40a.
Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент перед a² отрицательный), поэтому она имеет максимум.
Максимум квадратичной функции вида f(x) = -x² + bx находится в вершине параболы при x = -b/(2·(-1)) = b/2.
В нашем случае: a = 40/2 = 20.
Тогда b = 40 - a = 40 - 20 = 20.
Проверим: a + b = 20 + 20 = 40 ✓ Произведение: P = 20 · 20 = 400 (максимальное значение).