Номер 782 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 782.
Известно, что уравнение х² + рх + q = 0 имеет корни х₁ и х₂. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа х₁/х₂ и х₂/х₁
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета: найди сумму и произведение новых корней через p и q. Вспомни, что x₁² + x₂² можно выразить через сумму и произведение корней исходного уравнения.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим корни исходного уравнения как x₁ и x₂. По теореме Виета для уравнения х² + рх + q = 0:
- сумма корней: x₁ + x₂ = -p
- произведение корней: x₁ · x₂ = q
Нам нужно составить уравнение с корнями x₁/x₂ и x₂/x₁. Найдём сумму этих корней: x₁/x₂ + x₂/x₁ = (x₁² + x₂²)/(x₁·x₂)
Преобразуем числитель. Знаем, что x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂: x₁² + x₂² = (-p)² - 2q = p² - 2q
Значит, сумма новых корней равна: (p² - 2q)/q
Найдём произведение новых корней: (x₁/x₂) · (x₂/x₁) = 1
По теореме Виета, если новые корни имеют сумму S = (p² - 2q)/q и произведение P = 1, то уравнение имеет вид: t² - St + P = 0 t² - ((p² - 2q)/q)·t + 1 = 0
Умножим обе части на q, чтобы избавиться от дроби: qt² - (p² - 2q)t + q = 0
Ответ: qt² - (p² - 2q)t + q = 0 или qt² + (2q - p²)t + q = 0