Номер 60 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 60.
Докажите, что:
а) выражение (a + b)²/ab − (a − b)²/ab тождественно равно 4;
б) выражение (a + b)²/a² + b² + (a − b)²/a² + b² тождественно равно 2.
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих пунктах приведите дроби к общему знаменателю. Затем раскройте квадраты суммы и разности по формулам (a ± b)² = a² ± 2ab + b². После упрощения числителя дробь должна сократиться до требуемого числа.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Докажите, что (a + b)²/ab − (a − b)²/ab = 4
Шаг 1. Запишем выражение с общим знаменателем: (a + b)²/ab − (a − b)²/ab = [(a + b)² − (a − b)²]/ab
Шаг 2. Раскроем скобки в числителе: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b²
Шаг 3. Найдём разность: (a + b)² − (a − b)² = (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b² = 4ab
Шаг 4. Подставим в дробь: [(a + b)² − (a − b)²]/ab = 4ab/ab = 4
Что и требовалось доказать.
б) Докажите, что (a + b)²/(a² + b²) + (a − b)²/(a² + b²) = 2
Шаг 1. Запишем с общим знаменателем: (a + b)²/(a² + b²) + (a − b)²/(a² + b²) = [(a + b)² + (a − b)²]/(a² + b²)
Шаг 2. Раскроем скобки в числителе: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b²
Шаг 3. Найдём сумму: (a + b)² + (a − b)² = (a² + 2ab + b²) + (a² − 2ab + b²) = a² + 2ab + b² + a² − 2ab + b² = 2a² + 2b² = 2(a² + b²)
Шаг 4. Подставим в дробь: [2(a² + b²)]/(a² + b²) = 2
Что и требовалось доказать.