Номер 481 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 481.
Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения является натуральным числом?
$$\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1}$$
1) Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении , чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.
💡 Подсказка (без ответа)
Сгруппируйте множители парами: первый с четвёртым и второй с третьим. Обозначьте полученное произведение первой пары как t. Тогда подкоренное выражение примет вид t(t + 2) + 1. Проверьте, это ли полный квадрат?
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
- Проверка на конкретном примере:
Возьмём n = 1.
Подставляем: корень из 1·2·3·4 + 1 = корень из 24 + 1 = корень из 25 = 5.
Получили натуральное число 5. Это хороший знак!
Проверим ещё n = 2: корень из 2·3·4·5 + 1 = корень из 120 + 1 = корень из 121 = 11.
Опять натуральное число!
- Удобная группировка:
Заметим, что нужно сгруппировать множители так, чтобы получить квадрат. Попробуем умножить первый множитель на последний, а второй на третий:
[n(n + 3)] · [(n + 1)(n + 2)] + 1
Вычислим каждое произведение:
- n(n + 3) = n² + 3n
- (n + 1)(n + 2) = n² + 3n + 2
Обозначим n² + 3n = t. Тогда:
- первое произведение = t
- второе произведение = t + 2
Получаем: t(t + 2) + 1
- Преобразуем подкоренное выражение:
t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)²
Это полный квадрат!
Вернёмся к переменной n: (n² + 3n + 1)²
Поэтому: корень из [(n² + 3n + 1)²] = |n² + 3n + 1| = n² + 3n + 1
(При натуральном n выражение n² + 3n + 1 всегда положительно, поэтому модуль просто снимается.)
Ответ: Да, при любом натуральном n значение выражения корень из n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n² + 3n + 1, что является натуральным числом.