Номер 48 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 48.
Докажите, что значение дроби не зависит от n, где n - натуральное число:
а) 3ⁿ⁺² − 3ⁿ/3ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ
б) 16ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺⁴/4 · 2ⁿ(2³ⁿ − 1)
💡 Подсказка (без ответа)
Вынесите общий множитель из числителя и знаменателя (в первом примере это 3^n, во втором приведите всё к степеням 2). После сокращения все переменные сократятся и останется число без n.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Пункт а) Доказать, что (3^(n+2) − 3^n)/(3^(n+2) + 3^(n+1) + 3^n) не зависит от n
Шаг 1. Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе.
Числитель: 3^(n+2) − 3^n = 3^n(3^2 − 1) = 3^n(9 − 1) = 3^n · 8
Знаменатель: 3^(n+2) + 3^(n+1) + 3^n = 3^n(3^2 + 3^1 + 1) = 3^n(9 + 3 + 1) = 3^n · 13
Шаг 2. Подставим в дробь:
(3^n · 8)/(3^n · 13) = 8/13
Шаг 3. После сокращения на 3^n получилось число 8/13, которое не содержит n.
Вывод: значение дроби равно 8/13 и не зависит от n.
Пункт б) Доказать, что (16^(n+1) − 2^(n+4))/(4 · 2^n(2^(3n) − 1)) не зависит от n
Шаг 1. Приведём всё к степеням числа 2.
16^(n+1) = (2^4)^(n+1) = 2^(4n+4)
2^(n+4) = 2^(n+4)
Числитель: 2^(4n+4) − 2^(n+4) = 2^(n+4)(2^(3n) − 1)
Шаг 2. Знаменатель:
4 · 2^n(2^(3n) − 1) = 2^2 · 2^n(2^(3n) − 1) = 2^(n+2)(2^(3n) − 1)
Шаг 3. Подставим в дробь:
(2^(n+4)(2^(3n) − 1))/(2^(n+2)(2^(3n) − 1)) = 2^(n+4)/2^(n+2) = 2^((n+4)−(n+2)) = 2^2 = 4
Вывод: значение дроби равно 4 и не зависит от n.