Номер 444 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 444.
Докажите, что верно равенство:
а) $$
\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=
$$ = $$\sqrt{2}$$ + $$\sqrt{3}$$ + $$\sqrt{5}$$
б) $$
\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}
$$ = 1 + $$\sqrt{3}$$ − $$\sqrt{5}$$
💡 Подсказка (без ответа)
Возведите выражение из правой части в квадрат и упростите его. Затем упростите подкоренные выражения слева (вынесите множители из под корня). Покажите, что получилось одинаково с обеих сторон.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем оба равенства, возведя правую часть в квадрат и сравнив с подкоренным выражением.
а) Доказать: √(10 + √24 + √40 + √60) = √2 + √3 + √5
Возведём правую часть в квадрат:
(√2 + √3 + √5)² = (√2)² + (√3)² + (√5)² + 2·√2·√3 + 2·√2·√5 + 2·√3·√5
= 2 + 3 + 5 + 2√6 + 2√10 + 2√15
= 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15
Теперь упростим подкоренное выражение в левой части:
√24 = √(4·6) = 2√6 √40 = √(4·10) = 2√10 √60 = √(4·15) = 2√15
Поэтому под корнем стоит:
10 + 2√6 + 2√10 + 2√15
Это ровно то же самое, что (√2 + √3 + √5)²!
Значит, √(10 + √24 + √40 + √60) = √2 + √3 + √5 ✓
б) Доказать: √(9 + √12 - √20 - √60) = 1 + √3 - √5
Возведём правую часть в квадрат:
(1 + √3 - √5)² = 1² + (√3)² + (-√5)² + 2·1·√3 + 2·1·(-√5) + 2·√3·(-√5)
= 1 + 3 + 5 + 2√3 - 2√5 - 2√15
= 9 + 2√3 - 2√5 - 2√15
Теперь упростим подкоренное выражение в левой части:
√12 = √(4·3) = 2√3 √20 = √(4·5) = 2√5 √60 = √(4·15) = 2√15
Поэтому под корнем стоит:
9 + 2√3 - 2√5 - 2√15
Это ровно то же самое, что (1 + √3 - √5)²!
Значит, √(9 + √12 - √20 - √60) = 1 + √3 - √5 ✓