Номер 438 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 438.
Найдите значение выражения:
а) $$
\sqrt{11+6 \sqrt{2}}
$$ − $$\sqrt{2}$$
б) $$
\sqrt{27-5 \sqrt{8}}
$$ + $$\sqrt{2}$$
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй представить выражение под корнем как полный квадрат суммы или разности. Для этого проверь, можно ли записать число в виде (a ± b)². Сначала найди подходящие a и b, а потом извлеки корень.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) √(11 + 6√2) − √2
Шаг 1. Заметим, что выражение под корнем похоже на квадрат суммы. Попробуем представить 11 + 6√2 как (a + b)².
Шаг 2. Раскроем скобки: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Шаг 3. Сравним с 11 + 6√2:
- a² + b² = 11
- 2ab = 6√2, то есть ab = 3√2
Шаг 4. Подберём a и b. Если a² + b² = 11 и ab = 3√2, то:
- Пусть a = 3, b = √2
- Проверка: 3² + (√2)² = 9 + 2 = 11 ✓
- Проверка: 3 · √2 = 3√2 ✓
Шаг 5. Значит, 11 + 6√2 = (3 + √2)²
Шаг 6. √(11 + 6√2) = √((3 + √2)²) = |3 + √2| = 3 + √2 (число положительное)
Шаг 7. (3 + √2) − √2 = 3
б) √(27 − 5√8) + √2
Шаг 1. Упростим √8 = √(4 · 2) = 2√2
Шаг 2. Подставим: √(27 − 5 · 2√2) + √2 = √(27 − 10√2) + √2
Шаг 3. Представим 27 − 10√2 как (a − b)²:
- a² + b² = 27
- 2ab = 10√2, то есть ab = 5√2
Шаг 4. Подберём a и b:
- Пусть a = 5, b = √2
- Проверка: 5² + (√2)² = 25 + 2 = 27 ✓
- Проверка: 5 · √2 = 5√2 ✓
Шаг 5. Значит, 27 − 10√2 = (5 − √2)²
Шаг 6. √(27 − 10√2) = √((5 − √2)²) = |5 − √2| = 5 − √2 (число положительное)
Шаг 7. (5 − √2) + √2 = 5