Номер 284 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 284.
Известно, что a², b², a − b − рациональные числа и a ≠ b. Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма a + b ?
💡 Подсказка (без ответа)
Используй формулу разности квадратов: (a + b)(a − b) = a² − b². Выразите a + b как частное двух известных вам рациональных выражений.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Дано: a², b², a − b — рациональные числа, a ≠ b. Нужно определить, рациональное или иррациональное число a + b.
Шаг 1. Обозначим известные рациональные числа:
- a² = p (рациональное)
- b² = q (рациональное)
- a − b = r (рациональное, r ≠ 0, так как a ≠ b)
Шаг 2. Выразим a + b через известные величины. Используем алгебраическое тождество: (a + b)(a − b) = a² − b²
Шаг 3. Найдём a² − b²: a² − b² = p − q
Поскольку p и q рациональны, их разность p − q тоже рациональна.
Шаг 4. Выразим a + b: a + b = (a² − b²)/(a − b) = (p − q)/r
Шаг 5. Определим вид числа a + b:
- Числитель: p − q — рациональное число
- Знаменатель: r — рациональное число, r ≠ 0
- Частное двух рациональных чисел (при ненулевом делителе) — всегда рациональное число
Поэтому a + b — рациональное число.