Номер 251 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 251.
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от а и b.
$$ \frac{\frac{3}{2} a^2-2 a b+\frac{2}{3} b^2}{\frac{1}{4} a^2-\frac{1}{9} b^2}+\frac{6 b}{\frac{3}{4} a+\frac{1}{2} b} $$
💡 Подсказка (без ответа)
Раскройте скобки в числителе первой дроби и попытайтесь получить полный квадрат. Разложите знаменатель первой дроби как разность квадратов. Приведите вторую дробь к общему знаменателю с первой и сложите их.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем, что это выражение не зависит от a и b. Упростим его по частям.
Шаг 1. Упростим первую дробь
Числитель первой дроби: 3/2·a² - 2ab + 2/3·b²
Приведём к общему знаменателю 6: = 9/6·a² - 12/6·ab + 4/6·b² = (9a² - 12ab + 4b²)/6 = (3a - 2b)²/6
Знаменатель первой дроби: 1/4·a² - 1/9·b²
Приведём к общему знаменателю 36: = 9/36·a² - 4/36·b² = (9a² - 4b²)/36 = (3a - 2b)(3a + 2b)/36
Первая дробь: [(3a - 2b)²/6] / [(3a - 2b)(3a + 2b)/36] = (3a - 2b)²/6 · 36/[(3a - 2b)(3a + 2b)] = (3a - 2b)·36 / [6(3a + 2b)] = 6(3a - 2b) / (3a + 2b)
Шаг 2. Упростим вторую дробь
6b / (3/4·a + 1/2·b)
Знаменатель: 3/4·a + 1/2·b = (3a + 2b)/4
Вторая дробь: 6b / [(3a + 2b)/4] = 6b · 4/(3a + 2b) = 24b/(3a + 2b)
Шаг 3. Складываем обе дроби
6(3a - 2b)/(3a + 2b) + 24b/(3a + 2b) = [6(3a - 2b) + 24b] / (3a + 2b) = [18a - 12b + 24b] / (3a + 2b) = [18a + 12b] / (3a + 2b) = 6(3a + 2b) / (3a + 2b) = 6
Вывод: Значение выражения равно 6 при всех допустимых значениях a и b.