Номер 244 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 244.
Докажите, что если m ≠ n, m ≠ 0, n ≠ 0, то значение выражения 2/mn : (1/m − 1/n)² − m ²+ n²/(m − n)² не зависит от значений переменных.
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи обе части к общему знаменателю (m − n)². Упрости дроби отдельно, потом вычти. Заметь, что числитель после вычитания — это полный квадрат разности.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Упростим выражение по частям.
Шаг 1. Упростим первую дробь: 2/mn : (1/m − 1/n)²
Сначала найдём (1/m − 1/n)²: 1/m − 1/n = (n − m)/(mn)
(1/m − 1/n)² = ((n − m)/(mn))² = (n − m)²/(m²n²)
Теперь делим: 2/mn : (n − m)²/(m²n²) = 2/mn · m²n²/(n − m)² = 2mn/(n − m)²
Шаг 2. Упростим вторую дробь: (m² + n²)/(m − n)²
Замечаем, что (n − m)² = (m − n)², поэтому: 2mn/(n − m)² = 2mn/(m − n)²
Шаг 3. Вычтем вторую дробь из первой:
2mn/(m − n)² − (m² + n²)/(m − n)² = (2mn − m² − n²)/(m − n)²
Шаг 4. Упростим числитель:
2mn − m² − n² = −(m² − 2mn + n²) = −(m − n)²
Шаг 5. Подставим в дробь:
−(m − n)²/(m − n)² = −1
Вывод: выражение равно −1 при любых значениях m и n (при условии m ≠ n, m ≠ 0, n ≠ 0).