Номер 242 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 242.
Найдите такие значения a и b, при которых выполняется тождество:
а) 5x/(x − 2)(x + 3) = a/x − 2 + b/x + 3
б) 5x + 31/(x − 5)(x + 2) = a/x − 5 + b/x + 2
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи обе дроби на правой части к общему знаменателю, затем приравняй числители. Раскрой скобки и приравняй коэффициенты при одинаковых степенях x — получится система двух уравнений с двумя неизвестными.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) 5x/((x − 2)(x + 3)) = a/(x − 2) + b/(x + 3)
Шаг 1. Приведём правую часть к общему знаменателю.
a/(x − 2) + b/(x + 3) = (a(x + 3) + b(x − 2))/((x − 2)(x + 3))
Шаг 2. Числители должны быть равны:
5x = a(x + 3) + b(x − 2)
Шаг 3. Раскроем скобки:
5x = ax + 3a + bx − 2b 5x = (a + b)x + (3a − 2b)
Шаг 4. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
При x¹: 5 = a + b При x⁰: 0 = 3a − 2b
Шаг 5. Решим систему уравнений.
Из второго уравнения: 3a = 2b, откуда a = 2b/3
Подставим в первое уравнение: 2b/3 + b = 5 2b/3 + 3b/3 = 5 5b/3 = 5 b = 3
Тогда: a = 2·3/3 = 2
б) (5x + 31)/((x − 5)(x + 2)) = a/(x − 5) + b/(x + 2)
Шаг 1. Приведём правую часть к общему знаменателю.
a/(x − 5) + b/(x + 2) = (a(x + 2) + b(x − 5))/((x − 5)(x + 2))
Шаг 2. Числители должны быть равны:
5x + 31 = a(x + 2) + b(x − 5)
Шаг 3. Раскроем скобки:
5x + 31 = ax + 2a + bx − 5b 5x + 31 = (a + b)x + (2a − 5b)
Шаг 4. Приравняем коэффициенты:
При x¹: 5 = a + b При x⁰: 31 = 2a − 5b
Шаг 5. Решим систему уравнений.
Из первого уравнения: a = 5 − b
Подставим во второе: 31 = 2(5 − b) − 5b 31 = 10 − 2b − 5b 31 = 10 − 7b 7b = −21 b = −3
Тогда: a = 5 − (−3) = 8