Номер 236 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 236.
Докажите, что тождественно равны выражения
ax + by/(a − b)(x + y) − bx − ay/(a + b)(x + y) и a² + b²/a² − b²
💡 Подсказка (без ответа)
Приведи дроби в левой части к общему знаменателю (a − b)(a + b)(x + y). Раскрой скобки в числителе, приведи подобные слагаемые и вынеси общий множитель (x + y) в числителе.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что левая часть равна правой. Для этого упростим левую часть.
Шаг 1. Запишем левую часть:
(ax + by)/((a − b)(x + y)) − (bx − ay)/((a + b)(x + y))
Шаг 2. Вынесем общий знаменатель (x + y):
[ax + by]/((a − b)(x + y)) − [bx − ay]/((a + b)(x + y)) = = ([ax + by](a + b) − [bx − ay](a − b))/((a − b)(a + b)(x + y))
Шаг 3. Раскроем скобки в числителе:
(ax + by)(a + b) = a²x + abx + aby + b²y
(bx − ay)(a − b) = abx − b²x − a²y + aby
Шаг 4. Найдём разность:
(a²x + abx + aby + b²y) − (abx − b²x − a²y + aby) = = a²x + abx + aby + b²y − abx + b²x + a²y − aby = = a²x + b²y + b²x + a²y = = a²(x + y) + b²(x + y) = = (a² + b²)(x + y)
Шаг 5. Подставим обратно:
(a² + b²)(x + y)/((a − b)(a + b)(x + y)) = = (a² + b²)/((a − b)(a + b)) = = (a² + b²)/(a² − b²)
Это равно правой части. Тождество доказано!