Номер 226 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 226.
Докажите, что если правильная обыкновенная дробь a/b несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначьте дополняющую дробь как (b - a)/b и предположите, что у (b - a) и b есть общий делитель d > 1. Покажите, что тогда d делит и a, и b, что противоречит НОД(a; b) = 1.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Обозначим исходную правильную дробь как a/b, где a < b и дробь несократима (это означает, что НОД(a; b) = 1).
Дробь, дополняющая a/b до единицы — это дробь (b - a)/b, так как a/b + (b - a)/b = b/b = 1.
Нужно доказать, что дробь (b - a)/b также несократима, то есть что НОД(b - a; b) = 1.
Доказательство: Предположим, что у чисел (b - a) и b есть общий делитель d, где d > 1.
Если d делит b и d делит (b - a), то d должен делить и их разность: b - (b - a) = a
Получается, что d делит и a, и b одновременно.
Но по условию дробь a/b несократима, то есть НОД(a; b) = 1. Это значит, что у чисел a и b нет общих делителей больше 1.
Мы пришли к противоречию: d > 1, но a и b не имеют общих делителей больше 1.
Следовательно, наше предположение неверно, и НОД(b - a; b) = 1.
Это означает, что дробь (b - a)/b несократима, что и требовалось доказать.