Номер 164 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 164.
Докажите, что при любом натуральном n значении выражения (9/n² + n/3) : (3/n² − 1/n + 1/3) является натуральным числом.
💡 Подсказка (без ответа)
Приведите числитель и знаменатель к общему знаменателю 3n². Затем постарайтесь разложить числитель на множители — там спрятана формула суммы кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно упростить это выражение и показать, что оно всегда дает натуральное число.
Шаг 1: Запишем выражение в виде дроби (9/n² + n/3) : (3/n² − 1/n + 1/3) = (9/n² + n/3) / (3/n² − 1/n + 1/3)
Шаг 2: Приведем числитель к общему знаменателю Числитель: 9/n² + n/3 = 27/(3n²) + n²/(3n) = (27 + n³)/(3n²)
Шаг 3: Приведем знаменатель к общему знаменателю Знаменатель: 3/n² − 1/n + 1/3 Общий знаменатель: 3n² 3/n² = 9/(3n²) 1/n = 3n/(3n²) 1/3 = n²/(3n²)
Знаменатель = (9 − 3n + n²)/(3n²) = (n² − 3n + 9)/(3n²)
Шаг 4: Делим дробь на дробь [(27 + n³)/(3n²)] / [(n² − 3n + 9)/(3n²)] = [(27 + n³)/(3n²)] × [(3n²)/(n² − 3n + 9)]
Шаг 5: Сокращаем 3n² = (27 + n³) / (n² − 3n + 9)
Шаг 6: Разложим числитель 27 + n³ = n³ + 27 = (n + 3)(n² − 3n + 9)
Это формула суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) Здесь a = n, b = 3
Шаг 7: Упрощаем = [(n + 3)(n² − 3n + 9)] / (n² − 3n + 9) = n + 3
Шаг 8: Вывод Так как n — натуральное число, то (n + 3) — также натуральное число. При n = 1: n + 3 = 4 ✓ При n = 2: n + 3 = 5 ✓ При n = 3: n + 3 = 6 ✓
Значит, выражение всегда равно натуральному числу.