Номер 1322 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1322.
Докажите, что система уравнений не имеет решений:
$$
\text { a) }\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=0,09 \\
y=x^2+1
\end{array}\right.
$$
$$
\text { б) }\left\{\begin{array}{l}
y=x^2+5 \\
y+x^2=-2
\end{array}\right.
$$
💡 Подсказка (без ответа)
а) Подставьте второе уравнение в первое и упростите. Затем заменой t = x² приведите к квадратному уравнению и проверьте знак дискриминанта и корней. б) Подставьте первое уравнение во второе и упростите — увидите, что x² равен отрицательному числу.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Пункт а)
Дана система: x² + y² = 0,09 y = x² + 1
Шаг 1: Подставим выражение для y из второго уравнения в первое.
Вместо y подставляем (x² + 1): x² + (x² + 1)² = 0,09
Шаг 2: Раскроем скобки.
x² + x⁴ + 2x² + 1 = 0,09
Шаг 3: Упростим левую часть.
x⁴ + 3x² + 1 = 0,09
Шаг 4: Перенесём всё в левую часть.
x⁴ + 3x² + 1 - 0,09 = 0 x⁴ + 3x² + 0,91 = 0
Шаг 5: Проанализируем полученное уравнение.
Обозначим t = x². Так как x — вещественное число, то t ≥ 0.
Получаем: t² + 3t + 0,91 = 0
Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант: D = 3² - 4 · 1 · 0,91 = 9 - 3,64 = 5,36 > 0
Уравнение имеет два корня: t = (-3 ± √5,36)/2
Шаг 6: Вычислим примерно.
√5,36 ≈ 2,32
t₁ = (-3 + 2,32)/2 = -0,68/2 = -0,34 < 0 t₂ = (-3 - 2,32)/2 = -5,32/2 = -2,66 < 0
Оба корня отрицательны!
Шаг 7: Вывод.
Так как t = x² ≥ 0 для любого вещественного x, а оба корня уравнения отрицательны, система не имеет решений.
Пункт б)
Дана система: y = x² + 5 y + x² = -2
Шаг 1: Подставим первое уравнение во второе.
(x² + 5) + x² = -2
Шаг 2: Упростим.
2x² + 5 = -2
Шаг 3: Перенесём.
2x² = -7
Шаг 4: Разделим на 2.
x² = -3,5
Шаг 5: Анализируем.
Для любого вещественного числа x справедливо x² ≥ 0.
Но у нас получилось x² = -3,5 < 0, что невозможно!
Шаг 6: Вывод.
Так как квадрат вещественного числа не может быть отрицательным, система не имеет решений.