Номер 1295 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1295.
Докажите, что функция $$ y=\sqrt{x^2+2 \sqrt{2} x+2}+\sqrt{x^2-2 \sqrt{2} x+2} $$, где $$ -\sqrt{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{2} $$, линейная.
💡 Подсказка (без ответа)
Попробуй разложить выражения под корнями как полные квадраты. Воспользуйся формулами (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a - b)² = a² - 2ab + b². После этого раскрой корни, учитывая, что √(a²) = |a|, а затем раскрой модули, ориентируясь на промежуток [-√2, √2].
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что эта функция линейная. Для этого покажем, что её можно упростить до вида y = ax + b.
Шаг 1: Упростим выражения под корнями. Посмотрим на первое подкоренное выражение: x² + 2√2·x + 2
Это похоже на квадрат суммы. Проверим: (x + √2)² = x² + 2√2·x + 2 ✓
Посмотрим на второе подкоренное выражение: x² - 2√2·x + 2
Это похоже на квадрат разности. Проверим: (x - √2)² = x² - 2√2·x + 2 ✓
Шаг 2: Подставим в исходную функцию. y = √((x + √2)²) + √((x - √2)²)
Шаг 3: Раскроем корни из квадратов. √(a²) = |a| (модуль a)
Поэтому: y = |x + √2| + |x - √2|
Шаг 4: Раскроем модули на заданном промежутке -√2 ≤ x ≤ √2.
Для первого модуля |x + √2|: Так как -√2 ≤ x, то x + √2 ≥ 0 Следовательно: |x + √2| = x + √2
Для второго модуля |x - √2|: Так как x ≤ √2, то x - √2 ≤ 0 Следовательно: |x - √2| = -(x - √2) = √2 - x
Шаг 5: Подставим раскрытые модули. y = (x + √2) + (√2 - x) y = x + √2 + √2 - x y = 2√2
Шаг 6: Вывод. Мы получили y = 2√2, это константа, то есть линейная функция вида y = 0·x + 2√2.
Функция линейная, так как имеет вид y = ax + b, где a = 0 и b = 2√2. Что и требовалось доказать.