Номер 1280 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1280.
Найдите три различные обыкновенные дроби вида x/х + 1, сумма которых равна натуральному числу.
💡 Подсказка (без ответа)
Представьте дробь x/(x+1) в виде 1 - 1/(x+1). Тогда сумма трёх таких дробей будет 3 минус сумма трёх дробей вида 1/(x+1). Нужно выбрать x так, чтобы эта последняя сумма была целым числом.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно найти три дроби вида x/(x+1), которые в сумме дают натуральное число.
Шаг 1. Сначала посмотрим, на что похожа дробь x/(x+1). Можно переписать: x/(x+1) = (x+1-1)/(x+1) = (x+1)/(x+1) - 1/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
Шаг 2. Если мы возьмём три разных значения x, то получим три дроби:
- При x = a: дробь 1 - 1/(a+1)
- При x = b: дробь 1 - 1/(b+1)
- При x = c: дробь 1 - 1/(c+1)
Шаг 3. Сложим их: (1 - 1/(a+1)) + (1 - 1/(b+1)) + (1 - 1/(c+1)) = 3 - (1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1))
Шаг 4. Чтобы сумма была натуральным числом, нужно, чтобы сумма дробей 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) была целым числом.
Шаг 5. Самый простой вариант — чтобы эта сумма равнялась 1. Что если 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) = 1?
Шаг 6. Возьмём a = 1, b = 2, c = 5: 1/(1+1) + 1/(2+1) + 1/(5+1) = 1/2 + 1/3 + 1/6 Приведём к общему знаменателю 6: = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1 ✓
Шаг 7. Тогда наши дроби:
- x = 1: 1/(1+1) = 1/2
- x = 2: 2/(2+1) = 2/3
- x = 5: 5/(5+1) = 5/6
Шаг 8. Проверяем сумму: 1/2 + 2/3 + 5/6 = 3/6 + 4/6 + 5/6 = 12/6 = 2 ✓
Это натуральное число!