Номер 1264 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1264.
Корни х₁ и х₂ уравнения nx² − 5x + 1 = 0 связаны соотношением х₁⁻² + х₂⁻² = 13. Найдите n.
💡 Подсказка (без ответа)
Используй теорему Виета, чтобы выразить сумму и произведение корней. Затем преобразуй x₁⁻² + x₂⁻² = 1/x₁² + 1/x₂² и выражай через (x₁ + x₂) и (x₁ · x₂).
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Дано уравнение: nx² − 5x + 1 = 0
Шаг 1: Вспомним теорему Виета. Для уравнения nx² − 5x + 1 = 0 (разделим на n, чтобы получить приведённое) Получаем: x² − (5/n)x + (1/n) = 0
По теореме Виета: • x₁ + x₂ = 5/n • x₁ · x₂ = 1/n
Шаг 2: Преобразуем выражение x₁⁻² + x₂⁻². x₁⁻² + x₂⁻² = 1/x₁² + 1/x₂²
Приводим к общему знаменателю: 1/x₁² + 1/x₂² = (x₂² + x₁²)/(x₁² · x₂²)
Шаг 3: Найдём x₁² + x₂². Используем формулу: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂
x₁² + x₂² = (5/n)² − 2 · (1/n) = 25/n² − 2/n
Шаг 4: Найдём x₁² · x₂². x₁² · x₂² = (x₁ · x₂)² = (1/n)² = 1/n²
Шаг 5: Подставляем в выражение из шага 2. (x₁² + x₂²)/(x₁² · x₂²) = (25/n² − 2/n)/(1/n²)
Умножим числитель и знаменатель на n²: = (25 − 2n)/1 = 25 − 2n
Шаг 6: Решаем уравнение. По условию: x₁⁻² + x₂⁻² = 13
25 − 2n = 13 −2n = 13 − 25 −2n = −12 n = 6
Шаг 7: Проверка. При n = 6: 6x² − 5x + 1 = 0 Дискриминант: D = 25 − 24 = 1 > 0 ✓ x₁ + x₂ = 5/6; x₁ · x₂ = 1/6 Выражение: 25 − 2(6) = 25 − 12 = 13 ✓