Номер 1157 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

Раздели функцию на две части в зависимости от знака x. Найди несколько точек для положительных и отрицательных значений х, заметив, что благодаря модулю график будет симметричным. Построй две ветви гиперболы и опиши их поведение.

Для построения графика функции y = 6/|x| и описания её свойств выполним следующие шаги.

Шаг 1. Разберёмся с модулем Функция y = 6/|x| означает:

• Если x > 0, то |x| = x и y = 6/x
• Если x < 0, то |x| = -x и y = 6/(-x) = -6/x

Это функция с двумя ветвями.

Шаг 2. Найдём несколько точек для x > 0

• x = 1: y = 6/1 = 6 → (1; 6)
• x = 2: y = 6/2 = 3 → (2; 3)
• x = 3: y = 6/3 = 2 → (3; 2)
• x = 6: y = 6/6 = 1 → (6; 1)
• x = 0,5: y = 6/0,5 = 12 → (0,5; 12)

Шаг 3. Найдём несколько точек для x < 0 По свойству модуля, при отрицательных x функция симметрична относительно оси y:

• x = -1: y = 6/|-1| = 6 → (-1; 6)
• x = -2: y = 6/|-2| = 3 → (-2; 3)
• x = -3: y = 6/|-3| = 2 → (-3; 2)
• x = -6: y = 6/|-6| = 1 → (-6; 1)
• x = -0,5: y = 6/|-0,5| = 12 → (-0,5; 12)

Шаг 4. Построим график График состоит из двух гипербол (в I и II координатных четвертях), расположенных симметрично относительно оси y. Обе ветви асимптотически приближаются к осям координат.

Шаг 5. Опишем свойства функции y = 6/|x|

1. Область определения: x ≠ 0, или x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. Область значений: y > 0, или y ∈ (0; +∞)

3. Чётность: Функция чётная, так как f(-x) = 6/|-x| = 6/|x| = f(x). График симметричен относительно оси y.

4. Монотонность:

   • На промежутке (0; +∞) функция убывает
   • На промежутке (-∞; 0) функция возрастает

5. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: x = 0 (ось y)
   • Горизонтальная асимптота: y = 0 (ось x)

6. Экстремумов нет

7. Непрерывность: Функция разрывна в точке x = 0

8. Положительность: Функция положительна на всей области определения (y > 0)