Номер 1059 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1059.
При каких значениях а уравнение имеет два корня, каждый из которых больше 2
х² − 4ах + 4а² − 25 = 0
💡 Подсказка (без ответа)
Найди дискриминант и убедись, что уравнение всегда имеет два корня. Затем выражи оба корня через а и составь систему неравенств, требующую, чтобы каждый корень был больше 2.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно найти, при каких значениях а оба корня уравнения х² − 4ах + 4а² − 25 = 0 больше 2.
Шаг 1. Найдём дискриминант. D = (−4a)² − 4 · 1 · (4a² − 25) = 16a² − 16a² + 100 = 100
Дискриминант положителен при всех а, значит уравнение всегда имеет два действительных корня.
Шаг 2. Найдём сами корни. х = (4a ± 10) / 2
х₁ = (4a + 10) / 2 = 2a + 5 х₂ = (4a − 10) / 2 = 2a − 5
Шаг 3. Составим условия: оба корня должны быть больше 2.
Для первого корня: 2a + 5 > 2 2a > −3 a > −1,5
Для второго корня: 2a − 5 > 2 2a > 7 a > 3,5
Шаг 4. Объединим условия. Чтобы оба корня одновременно были больше 2, нужно выполнить более сильное условие: a > 3,5
Проверка: При а = 4: х₁ = 2 · 4 + 5 = 13 > 2 ✓ х₂ = 2 · 4 − 5 = 3 > 2 ✓