Номер 104 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев

Приведи левую часть тождества к общему знаменателю и упрости числитель. Затем заметь, что каждую дробь из суммы можно представить как разность двух дробей — это даст телескопическую сумму, где внутренние члены сокращаются.

Доказательство тождества:

Нужно доказать, что 1/(x + n) − 1/(x + n + 1) = 1/((x + n)(x + n + 1))

Возьмём левую часть и приведём к общему знаменателю:

1/(x + n) − 1/(x + n + 1) = (x + n + 1)/((x + n)(x + n + 1)) − (x + n)/((x + n)(x + n + 1))

= ((x + n + 1) − (x + n))/((x + n)(x + n + 1))

= 1/((x + n)(x + n + 1))

Тождество доказано! ✓

Упрощение выражения:

Теперь используем это тождество для трёх дробей:

1/((x + 1)(x + 2)) + 1/((x + 2)(x + 3)) + 1/((x + 3)(x + 4))

По тождеству:

• 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) − 1/(x + 2)
• 1/((x + 2)(x + 3)) = 1/(x + 2) − 1/(x + 3)
• 1/((x + 3)(x + 4)) = 1/(x + 3) − 1/(x + 4)

Складываем все три:

(1/(x + 1) − 1/(x + 2)) + (1/(x + 2) − 1/(x + 3)) + (1/(x + 3) − 1/(x + 4))

Это телескопическая сумма! Многие члены сокращаются:

= 1/(x + 1) − 1/(x + 4)

Приводим к общему знаменателю:

= (x + 4)/((x + 1)(x + 4)) − (x + 1)/((x + 1)(x + 4))

= ((x + 4) − (x + 1))/((x + 1)(x + 4))

= 3/((x + 1)(x + 4))