Номер 1010 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1010.
Докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство 3/a + b + c < 1/a + b + 1/b + c + 1/c + a
💡 Подсказка (без ответа)
Введи обозначения a + b = x, b + c = y, c + a = z, тогда выражение упростится. После этого примени неравенство вида p/q + q/p ≥ 2 для положительных чисел — оно помогает получить нужный результат.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что при положительных a, b, c верно неравенство:
3/(a + b + c) < 1/(a + b) + 1/(b + c) + 1/(c + a)
Шаг 1. Обозначим для удобства:
- a + b = x
- b + c = y
- c + a = z
Шаг 2. Заметим, что x + y + z = (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2(a + b + c)
Поэтому a + b + c = (x + y + z)/2
Шаг 3. Нужно доказать: 3/((x + y + z)/2) < 1/x + 1/y + 1/z
Это равносильно: 6/(x + y + z) < 1/x + 1/y + 1/z
Шаг 4. Умножим обе части на (x + y + z), где x + y + z > 0: 6 < (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z)
Шаг 5. Раскроем скобки справа: (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z) = 1 + y/x + z/x + x/y + 1 + z/y + x/z + y/z + 1 = 3 + (y/x + x/y) + (z/x + x/z) + (z/y + y/z)
Шаг 6. Применим неравенство: для положительных чисел p и q верно p/q + q/p ≥ 2 (по неравенству о среднем арифметическом и геометрическом)
Поэтому:
- y/x + x/y ≥ 2
- z/x + x/z ≥ 2
- z/y + y/z ≥ 2
Шаг 7. Получаем: (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 > 6
Доказано! ✓