Номер 1008 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1008.
Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.
💡 Подсказка (без ответа)
Начните с раскрытия куба суммы в левой части. Умножьте обе части на 8, чтобы избавиться от дроби, затем перенесите всё в одну сторону и пытайтесь разложить полученное выражение на множители.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Нужно доказать, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство:
((a + b)/2)³ ≤ (a³ + b³)/2
Шаг 1. Раскроем левую часть. ((a + b)/2)³ = (a + b)³/8
Шаг 2. Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дроби. (a + b)³ ≤ 4(a³ + b³)
Шаг 3. Раскроем куб суммы слева. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Шаг 4. Раскроем правую часть. 4(a³ + b³) = 4a³ + 4b³
Шаг 5. Подставим в неравенство. a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ≤ 4a³ + 4b³
Шаг 6. Перенесем все в левую часть. a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - 4a³ - 4b³ ≤ 0 -3a³ + 3a²b + 3ab² - 3b³ ≤ 0
Шаг 7. Вынесем (-3) за скобки. -3(a³ - a²b - ab² + b³) ≤ 0
Шаг 8. Разделим на (-3), знак неравенства изменится. a³ - a²b - ab² + b³ ≥ 0
Шаг 9. Перегруппируем слагаемые. a³ + b³ - a²b - ab² ≥ 0 (a³ - a²b) + (b³ - ab²) ≥ 0 a²(a - b) + b²(b - a) ≥ 0 a²(a - b) - b²(a - b) ≥ 0 (a - b)(a² - b²) ≥ 0 (a - b)(a - b)(a + b) ≥ 0 (a - b)²(a + b) ≥ 0
Шаг 10. Анализ. Так как a > 0 и b > 0 (по условию), то (a + b) > 0. (a - b)² ≥ 0 при любых a и b (квадрат всегда неотрицателен).
Произведение неотрицательного числа на положительное дает неотрицательное число: (a - b)²(a + b) ≥ 0
Это верно при любых положительных a и b. Значит, исходное неравенство доказано.