Номер 1006 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1006.
Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:
а) (а + b)(ab + 16) ≥ 16ab б) (a² + 4b)(4b + 25) ≥ 80ab
💡 Подсказка (без ответа)
Используй неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство AM ≥ GM): для положительных чисел x и y выполняется (x + y)/2 ≥ √(xy), или x + y ≥ 2√(xy). Примени это неравенство к скобкам в левой части и перемножь полученные неравенства.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
а) Доказать, что (а + b)(ab + 16) ≥ 16ab при а > 0 и b > 0
Раскроем скобки в левой части: (а + b)(ab + 16) = а·ab + а·16 + b·ab + b·16 = a²b + 16a + ab² + 16b
Нужно доказать: a²b + 16a + ab² + 16b ≥ 16ab
Перенесём всё в левую часть: a²b + 16a + ab² + 16b - 16ab ≥ 0
Пеregruppiруем: a²b - 16ab + ab² + 16a + 16b ≥ 0 ab(a - 16 + b) + 16(a + b) ≥ 0
Лучше переGroupируем иначе: a²b + ab² - 16ab + 16a + 16b ≥ 0 ab(a + b - 16) + 16(a + b) ≥ 0
Применим иное преобразование: (a²b - 16ab + 16a) + (ab² + 16b) ≥ 0 a(ab - 16b + 16) + b(ab + 16) ≥ 0
Лучший путь — используем неравенство между средним арифметическим и геометрическим: Для положительных чисел: a + b ≥ 2√(ab) и ab + 16 ≥ 2√(16ab) = 8√(ab)
Перемножим эти неравенства: (a + b)(ab + 16) ≥ 2√(ab) · 8√(ab) = 16ab ✓
б) Доказать, что (a² + 4b)(4b + 25) ≥ 80ab при а > 0 и b > 0
Применим неравенство AM ≥ GM для каждой скобки:
Для первой скобки: a² + 4b ≥ 2√(a²·4b) = 2·2a√b = 4a√b
Для второй скобки: 4b + 25 ≥ 2√(4b·25) = 2√(100b) = 2·10√b = 20√b
Перемножим: (a² + 4b)(4b + 25) ≥ 4a√b · 20√b = 80a·b ✓
При этом неравенства обращаются в равенство, только если в каждой скобке выполнены условия равенства, что даёт конкретные соотношения между а и b.