Номер 1004 — ГДЗ алгебра 8 класс Макарычев
№ 1004.
Докажите неравенство:
а) a² + b² + 4 ≥ 2(a + b + 1) б) 4a² + b² > 4(a + b − 2)
💡 Подсказка (без ответа)
Перенесите всё в левую часть и выделите полные квадраты двучленов (или квадраты). Помните: (x - c)² = x² - 2cx + c². Выделение полного квадрата — это основной метод для доказательства таких неравенств.
Решение по шагам · ✓ ответ сверен
Докажем оба неравенства, перенеся все члены в левую часть.
а) a² + b² + 4 ≥ 2(a + b + 1)
Шаг 1: Раскроем скобки в правой части: a² + b² + 4 ≥ 2a + 2b + 2
Шаг 2: Перенесём всё в левую часть: a² + b² + 4 - 2a - 2b - 2 ≥ 0
Шаг 3: Упростим: a² - 2a + b² - 2b + 2 ≥ 0
Шаг 4: Выделим полные квадраты. Для a: a² - 2a + 1 - 1 = (a - 1)² - 1 Для b: b² - 2b + 1 - 1 = (b - 1)² - 1
Шаг 5: Подставим: (a - 1)² - 1 + (b - 1)² - 1 + 2 ≥ 0 (a - 1)² + (b - 1)² ≥ 0
Шаг 6: Сумма квадратов двух любых чисел всегда неотрицательна. Неравенство доказано.
б) 4a² + b² > 4(a + b − 2)
Шаг 1: Раскроем скобки в правой части: 4a² + b² > 4a + 4b - 8
Шаг 2: Перенесём всё в левую часть: 4a² + b² - 4a - 4b + 8 > 0
Шаг 3: Переставим для удобства: 4a² - 4a + b² - 4b + 8 > 0
Шаг 4: Выделим полные квадраты. Для a: 4a² - 4a = 4(a² - a) = 4(a² - a + 1/4 - 1/4) = 4((a - 1/2)² - 1/4) = 4(a - 1/2)² - 1 Для b: b² - 4b = b² - 4b + 4 - 4 = (b - 2)² - 4
Шаг 5: Подставим: 4(a - 1/2)² - 1 + (b - 2)² - 4 + 8 > 0 4(a - 1/2)² + (b - 2)² + 3 > 0
Шаг 6: Слагаемое 4(a - 1/2)² ≥ 0 (так как квадрат), (b - 2)² ≥ 0 (так как квадрат), а 3 > 0. Сумма трёх выражений, где первые два неотрицательны, а третье положительно, всегда строго больше нуля. Неравенство доказано.