Номер 727 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 727.
Является ли тождеством равенство:
1) (a − 1)3 − 9 (a − 1) = (a − 1) (a − 4) (a + 2); 2) (x2 + 1)2 − 4x2 = (x − 1)2 (x + 1)2?
💡 Подсказка (без ответа)
В обоих случаях нужно преобразовать левую часть равенства. Попробуйте вынести общий множитель в первом примере и применить формулу разности квадратов. Во втором примере тоже есть разность квадратов — представьте выражение в виде А² − В².
Решение по шагам
Тождество — это равенство, которое верно для всех значений переменных. Проверим оба случая.
1) (a − 1)³ − 9(a − 1) = (a − 1)(a − 4)(a + 2)
Левая часть: (a − 1)³ − 9(a − 1)
Вынесем общий множитель (a − 1): = (a − 1)[(a − 1)² − 9] = (a − 1)[(a − 1)² − 3²]
Применим формулу разности квадратов: А² − В² = (А − В)(А + В) = (a − 1)[(a − 1 − 3)(a − 1 + 3)] = (a − 1)(a − 4)(a + 2)
Это совпадает с правой частью!
Вывод: ДА, первое равенство является тождеством.
2) (x² + 1)² − 4x² = (x − 1)²(x + 1)²
Левая часть: (x² + 1)² − 4x² = (x² + 1)² − (2x)²
Применим формулу разности квадратов: = (x² + 1 − 2x)(x² + 1 + 2x) = (x² − 2x + 1)(x² + 2x + 1)
Это полные квадраты: = (x − 1)²(x + 1)²
Это совпадает с правой частью!
Вывод: ДА, второе равенство является тождеством.