Номер 698 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 698.
Известно, что числа х и у таковы, что х3 – у2 = 2. Найдите значение выражения х9 – 6х3у2 – у6.
💡 Подсказка (без ответа)
Обозначь х³ = а и у² = b. Тогда условие х³ – у² = 2 превратится в а – b = 2, а выражение — в а³ – 6ab – b³. Подстави а = b + 2 и упростишь.
Решение по шагам
Дано условие: х³ – у² = 2.
Нужно найти: х⁹ – 6х³у² – у⁶.
Шаг 1. Заметим, что в выражении х⁹ – 6х³у² – у⁶ можно выделить степени х³ и у².
Обозначим: а = х³, b = у².
Тогда условие становится: а – b = 2.
А выражение принимает вид: а³ – 6ab – b³.
Шаг 2. Из условия а – b = 2 выразим: а = b + 2.
Шаг 3. Подставим а = b + 2 в выражение а³ – 6ab – b³:
(b + 2)³ – 6(b + 2)b – b³
Шаг 4. Раскроем куб суммы (b + 2)³:
(b + 2)³ = b³ + 3·b²·2 + 3·b·4 + 8 = b³ + 6b² + 12b + 8
Шаг 5. Раскроем произведение 6(b + 2)b:
6(b + 2)b = 6b² + 12b
Шаг 6. Подставим в наше выражение:
(b³ + 6b² + 12b + 8) – (6b² + 12b) – b³
Шаг 7. Приведём подобные члены:
b³ + 6b² + 12b + 8 – 6b² – 12b – b³ = 8
Ответ: х⁹ – 6х³у² – у⁶ = 8