Номер 687 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 687.
Поставьте вместо звездочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:
1) (7k – p)(* + * + *) = 343k3 – p3; 2) (* + *)(25a4 – * + 36b2) = 125a6 + 216b3; 3) (mn + *)(* – * + k6) = m3n3 + k9.
💡 Подсказка (без ответа)
Посмотри, какие это кубы чисел или выражений. Например, в первом: 343k³ = (7k)³ и p³ = p³. Это разность кубов! Вспомни формулу a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) и подставь нужные выражения вместо a и b.
Решение по шагам
Это задание на применение формул сокращённого умножения для суммы и разности кубов.
Вспомним формулы:
- Разность кубов: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
- Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
1) (7k – p)(* + * + *) = 343k³ – p³
Заметим, что 343k³ = (7k)³ и p³ = p³
Это формула разности кубов: (7k)³ – p³ = (7k – p)((7k)² + 7k·p + p²)
Поэтому звёздочки — это: 49k² + 7kp + p²
Проверка: (7k – p)(49k² + 7kp + p²) = 7k·49k² + 7k·7kp + 7k·p² – p·49k² – p·7kp – p·p² = 343k³ + 49k²p + 7kp² – 49k²p – 7kp² – p³ = 343k³ – p³ ✓
2) (* + *)(25a⁴ – * + 36b²) = 125a⁶ + 216b³
Заметим, что 125a⁶ = (5a²)³ и 216b³ = (6b)³
Это формула суммы кубов: (5a²)³ + (6b)³ = (5a² + 6b)((5a²)² – 5a²·6b + (6b)²)
Поэтому первые звёздочки: 5a² + 6b
Вторые звёздочки (во второй скобке): 5a²·6b = 30a²b
Ответ: (5a² + 6b)(25a⁴ – 30a²b + 36b²) = 125a⁶ + 216b³
3) (mn + )( – * + k⁶) = m³n³ + k⁹
Заметим, что m³n³ = (mn)³ и k⁹ = (k³)³
Это формула суммы кубов: (mn)³ + (k³)³ = (mn + k³)((mn)² – mn·k³ + (k³)²)
Поэтому:
- Вторая звёздочка в первой скобке: k³
- Вторая звёздочка во второй скобке: m²n²
- Третья звёздочка во второй скобке: mnk³
Ответ: (mn + k³)(m²n² – mnk³ + k⁶) = m³n³ + k⁹