Номер 665 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 665.
Числа а, b и с таковы, что a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0. Чему равно значение выражения a + b – 2с?
💡 Подсказка (без ответа)
Умножь уравнение на 2 и попробуй выделить полные квадраты. Вспомни формулы: (x – y)² = x² – 2xy + y². Когда сумма квадратов равна нулю, что можно сказать о каждом квадрате?
Решение по шагам
Шаг 1. Посмотрим на условие: a² + b² + c² – ab – ac – bc = 0.
Шаг 2. Умножим обе части уравнения на 2: 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2bc = 0
Шаг 3. Переgroup члены так, чтобы выделить полные квадраты: (a² – 2ab + b²) + (a² – 2ac + c²) + (b² – 2bc + c²) = 0
Шаг 4. Заметим, что это сумма трёх полных квадратов: (a – b)² + (a – c)² + (b – c)² = 0
Шаг 5. Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю: (a – b)² = 0 ⟹ a = b (a – c)² = 0 ⟹ a = c (b – c)² = 0 ⟹ b = c
Шаг 6. Из этого следует, что a = b = c.
Шаг 7. Подставим a = b = c в выражение a + b – 2c: a + b – 2c = a + a – 2a = 2a – 2a = 0