Номер 335 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк

Найди остаток от деления каждого числа на 5, затем проанализируй, как меняются остатки при возведении в степень. Помни о закономерности: степени одного и того же числа часто повторяют свои остатки через определённый период.

Нужно доказать, что выражения делятся нацело на 5.

1) 4⁴⁰ - 1

Посмотрим, как ведут себя степени числа 4 при делении на 5:

• 4¹ = 4 (остаток 4)
• 4² = 16 (остаток 1)
• 4³ = 64 (остаток 4)
• 4⁴ = 256 (остаток 1)

Видим закономерность: степени 4 с чётными показателями дают остаток 1 при делении на 5.

Поскольку 40 — чётное число, то 4⁴⁰ ≡ 1 (mod 5)

Значит, 4⁴⁰ - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 5)

Таким образом, 4⁴⁰ - 1 делится на 5 нацело.

2) 2004¹⁷¹ + 171²⁰⁰⁴

Проверим остатки при делении на 5:

Для числа 2004:

• 2004 = 400 × 5 + 4, значит 2004 ≡ 4 (mod 5)
• Как мы выяснили выше, 4 в нечётной степени даёт остаток 4
• 171 — нечётное число
• Поэтому 2004¹⁷¹ ≡ 4 (mod 5)

Для числа 171:

• 171 = 34 × 5 + 1, значит 171 ≡ 1 (mod 5)
• 1 в любой степени равна 1
• Поэтому 171²⁰⁰⁴ ≡ 1 (mod 5)

Складываем остатки: 2004¹⁷¹ + 171²⁰⁰⁴ ≡ 4 + 1 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5)

Таким образом, 2004¹⁷¹ + 171²⁰⁰⁴ делится на 5 нацело.

Вычтите второй двучлен из первого, приведите подобные члены и попробуйте вынести общий множитель за скобки. Если получится множитель 6, то делимость доказана.

Найдём разность двух двучленов и упростим её.

1. Составим разность (вычтем второй двучлен из первого): (13m + 20n) − (7m + 2n)

2. Раскроем скобки (перед второй скобкой минус, поэтому знаки меняются): 13m + 20n − 7m − 2n

3. Приведём подобные члены: (13m − 7m) + (20n − 2n) = 6m + 18n

4. Вынесем общий множитель 6 за скобки: 6m + 18n = 6(m + 3n)

5. Анализ результата: Мы получили выражение 6(m + 3n), которое содержит множитель 6. Это значит, что при любых натуральных значениях m и n разность всегда равна произведению числа 6 на натуральное число (m + 3n).

Следовательно, разность делится нацело на 6 — это и требовалось доказать.