Номер 1031 — ГДЗ алгебра 7 класс Мерзляк
№ 1031.
Остаток при делении числа а на 5 равен 4, а остаток при делении на 5 числа b равен 3. Докажите, что значение выражения а2 + b2 кратно 5.
💡 Подсказка (без ответа)
Вспомни, как записать число через остаток: a = 5k + 4 и b = 5m + 3. Потом возведи оба числа в квадрат и найди их сумму. Попробуй вынести множитель 5.
Решение по шагам
Решим эту задачу пошагово.
Дано:
- При делении числа a на 5 остаток равен 4
- При делении числа b на 5 остаток равен 3
Нужно доказать: a² + b² кратно 5
Решение:
Шаг 1. Запишем числа a и b в виде деления с остатком.
Если остаток при делении a на 5 равен 4, то: a = 5k + 4, где k — целое число
Если остаток при делении b на 5 равен 3, то: b = 5m + 3, где m — целое число
Шаг 2. Найдём a².
a² = (5k + 4)² a² = 25k² + 40k + 16
Шаг 3. Найдём b².
b² = (5m + 3)² b² = 25m² + 30m + 9
Шаг 4. Найдём сумму a² + b².
a² + b² = 25k² + 40k + 16 + 25m² + 30m + 9 a² + b² = 25k² + 25m² + 40k + 30m + 25
Шаг 5. Вынесем общий множитель 5.
a² + b² = 5(5k² + 5m² + 8k + 6m + 5)
Шаг 6. Делаем вывод.
Мы получили, что a² + b² = 5 × (целое число).
Это означает, что a² + b² делится на 5 без остатка, то есть кратно 5.
Что и требовалось доказать.